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domingo, 10 de septiembre de 2017
miércoles, 29 de abril de 2015
CONJUNTOS
TEMA: CONJUNTOS
OBJETIVO DE APRENDIZAJE: REPRESENTAR Y CARACTERIZAR CONJUNTOS.
LECTURA PARA CONTEXTUALIZAR
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor.-
Nació el 3 de marzo de 1845
en San Petersburgo (Rusia). Descendiente de
judíos, fue hijo mayor del próspero comerciante Georg Waldemar Cantor y de su
mujer María Bohm.
Tuvo un preceptor particular, y después siguió un curso en la escuela elemental de San Petersburgo. Cuando la familia se trasladó a Alemania, asistió a algunas escuelas privadas de Francfort y de Damstandt primero, ingresando luego en el Instituto de Wiesbaden en 1860, cuando tenía 15 años. Comenzó sus estudios universitarios en Zurich, en 1862, pero pasó a la Universidad de Berlín al siguiente año, después de la muerte de su padre. En Berlín se especializó en Matemáticas, Filosofía y Física. Trabajó como profesor en la Universidad de Halle, obteniendo su Cátedra en 1872.
Sus primeros trabajos con las series de Fourier lo llevaron al desarrollo de una teoría de los números irracionales. Además formuló la teoría de conjuntos, sobre la que se basa la matemática moderna. Esta teoría extiende el concepto de número al introducir los números infinitos o números transfinitos. El estudio de los infinitos por parte de Cantor fue considerado por Kronecker como una locura matemática. Recibió múltiples honores y su obra había logrado ser reconocida.
Georg Cantor falleció en Halle (ciudad del centro de Alemania), el 6 de enero de 1918.
DEFINICIÓN DE CONJUNTOS
CONJUNTOS
En una teoría intuitiva de conjuntos, el concepto de “conjunto” es
considerado primitivo, es decir, no se define de un modo formal; se le acepta
como existente de manera axiomática, aún cuando es una creación intelectual.
Los conjuntos se designan
con letras mayúsculas: A, B, C,… X, Y, Z. En cambio, los elementos que forman
el conjunto se simbolizan con letras minúsculas: a, b, c,… x, y, z.
DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
Los conjuntos se pueden
determinar de dos maneras:
EJEMPLOS
1.
Determinar por comprensión
el conjunto A = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24}.
Como la característica común de los elementos del conjunto
A es que son múltiplos de 4 menores que 25, el conjunto A se escribe por
comprensión así:
A = {x/x es un múltiplo de 4
menor que 25}
2.
Determinar
por extensión el conjunto I = {x/x es número primo menor que 10}.
Para
determinar por extensión el conjunto I hay que identificar los números primos
menores que 10. Luego, se escribe I = {2, 3, 5, 7}.
REPRESENTACIÓN
GRÁFICA DE CONJUNTOS
Observemos los siguiente vídeo que ilustran claramente que es lo que estamos hablando:
viernes, 6 de marzo de 2015
UNIÓN E INTERSECCIÓN ENTRE CONJUNTOS
TEMA: UNIÓN E INTERSECCIÓN ENTRE CONJUNTOS
OBJETIVO DE APRENDIZAJE: HALLAR LA UNIÓN Y LA INTERSECCIÓN ENTRE DOS O MAS CONJUNTOS
LECTURA:
En el conservatorio Pedro Morales Pino, el profesor Andrés escogió a dos de sus mejores estudiantes para participar en un encuentro internacional: Liliana que interpreta la guitarra, piano, violín, flauta y saxofón, y Paula que interpreta la guitarra, bandola, trompeta, flauta y batería.
El profesor elaboro dos listas: en la primera escribió los instrumentos que interpreta Liliana o los que interpreta Paula; en la segunda, los que interpretan Liliana y Paula. ¿Qué instrumento escribió el director en cada lista?
Para entender la pregunta debemos hallar la unión y la intersección de los conjuntos formados por los instrumentos que interpretan cada una de las estudiantes.
CONCEPTO:
Primero recordemos ¿qué es un conjunto? Un conjunto es la agrupación de varios elementos que comparten características o rasgos similares.
Ahora, si tenemos varios conjuntos, podemos combinarlos entre sí para formar otros conjuntos utilizando reglas bien definidas. A estas reglas las conocemos como las operaciones entre conjuntos y son: unión, intersección, complemento, diferencia y diferencia simétrica. Vamos a centrarnos en la UNIÓN y en la INTERSECCIÓN.
- La UNIÓN entre dos conjuntos A y B es otro conjunto formado por todos los elementos que pertenecen tanto a A como a B pero sin repetir.
- La INTERSECCIÓN entre dos conjuntos A y B es otro conjunto formado por los elementos comunes al conjunto A y al conjunto B.
Miremos los siguientes ejemplos:
EJEMPLO 1: Vamos a resolver la pregunta que nos plantea la lectura. Llamamos L al conjunto de instrumentos interpretados por Liliana y P al conjunto de instrumentos interpretado por Paula.
L= {guitarra, piano, violín, flauta, saxofón} P= {guitarra, bandola, trompeta, flauta, batería}
Para saber qué instrumentos escribió el director en la primera lista, hallemos la unión de los conjuntos L y P (los elementos que pertenecen tanto a L como a P):
L U P = {guitarra, piano, violín, flauta, saxofón, bandola, trompeta, batería}
Diagrama de Venn Unión
Para saber qué instrumentos escribió el director en la segunda lista, hallemos la intersección de los conjuntos L y P (los elementos que son comunes tanto a L como a P):
L ∩ P = {guitarra, flauta}
Diagrama de Venn Intersección
EJEMPLO 2: Sean el conjunto A = {a, m, o, r} y B = {m, i, r, a}. Encuentre la unión y la intersección entre A y B.
A U B = {a, m, o, r, i}
A ∩ B = {m, a, r}
EJEMPLO 3: Sean los conjuntos C = {1, 10, 14, 5, 3, 8} y D = {2, 4, 5, 10, 7, 14}. Encuentre la unión y la intersección entre C y D.
C U D = {1, 10, 14, 5, 3, 8, 2, 4, 7}
C ∩ D = {10, 14, 5}
TAREA: Represente los ejemplos 2 y 3 en diagramas de Venn.
DIFERENCIA Y DIFERENCIA SIMÉTRICA ENTRE CONJUNTOS
TEMA: DIFERENCIA Y DIFERENCIA SIMÉTRICA
OBJETIVO DE APRENDIZAJE: COMPRENDER EL SIGNIFICADO Y HALLAR LA DIFERENCIA Y DIFERENCIA SIMÉTRICA ENTRE CONJUNTOS
LECTURA:
En una visita que se hizo al Museo de Oro nos encontramos con un grupo de turistas estadounidenses. Clara, Raúl, Santiago, Érika, Claudia, Samuel y Sofía fueorn los guías. A nuestro grupo nos hablaban sólo en español y a los norteamericanos les hablaban solo en inglés.
Según el diagrama, ¿Quienes son los guías que solo hablan español?¿Quienes hablan solo ingles?¿Quienes son los guías que solo hablan ingles o español? Para entender las preguntas debemos hallar la diferencia y la diferencia simétrica de los conjuntos formados por los guías.
CONCEPTO:
- La diferencia de dos conjuntos A y B, "A - B", es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y no pertenecen al conjunto B.
- La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B , "A ∆ B", es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a la unión de A y B y no pertenecen a la intersección entre A y B
Diferencia simétrica entre conjuntos:
EJEMPLO 1:
- Raúl, Samuel y Claudia son los guías que hablan solo inglés.
- Sofía y Clara son las que hablan solo español.
- Santiago y Érika hablan ingles y español
EJEMPLO 2: Sean el conjunto A = {a, m, o, r} y B = {m, i, r, a}. Encuentre la diferencia y la diferencia simétrica entre entre A y B.
A - B = {o}
A ∩ B = {m, a, r}
A ∆ B = A U B - A ∩ B = {o, i}
C - D = {1, 3, 8}
C U D = {1, 10, 14, 5, 3, 8, 2, 4, 7}
C ∩ D = {10, 14, 5}
C ∆ D = C U D - C ∩ D = {1, 3, 8, 2, 4, 7}
TAREA: Represente los ejemplos 2 y 3 en diagramas de Venn.
En el siguiente enlace encontrarás el taller que debes desarrollar:
En el siguiente enlace encontrarás el taller que debes desarrollar:
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